2. В трапеции ABCD BC ∥ AD. Прямая BF пересекает CD в точке E; точки A, D, F лежат на одной прямой. Из рисунка: CE = ED. Доказать: BC = DF.

Рассмотрим четырёхугольник BCDF. Его диагонали CD и BF пересекаются в E. По рисунку CE = ED, то есть E — середина диагонали CD.

Поскольку BC ∥ AD и D, F лежат на AD, получаем BC ∥ DF. В треугольнике FCD прямая через середину E стороны CD, параллельная DF, должна пересечь FC в его середине. Точка пересечения прямых BF и FC — B, поэтому B — середина FC. Следовательно, в четырёхугольнике BCDF диагонали делятся точкой пересечения пополам, и он является параллелограммом.

У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому BC = DF.

Ответ: BC = DF.