7. В равнобедренной трапеции ABCD AB = CD, BC = 5, AD = 15. Диагонали перпендикулярны. Из C опущен перпендикуляр CE на AD. Найти CE.

В равнобедренной трапеции разность оснований поровну приходится на два выступа у нижнего основания:

AE = (AD − BC)/2 = (15 − 5)/2 = 5.

Введём координаты: A = (0, 0), D = (15, 0). Тогда B = (5, h), C = (10, h), где h = CE. Направляющие векторы диагоналей AC и BD: (10, h) и (10, −h). Они перпендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю:

10 · 10 − h² = 0, откуда h² = 100 и h = 10, поскольку длина положительна.

Ответ: CE = 10.