5. В трапеции ABCD по рисунку AB = BC = CD, AC ⟂ CD. Найти углы трапеции.

Обозначим ∠CAD = α, ∠ACD = 90°. Тогда в треугольнике ACD угол D равен 90° − α. Поскольку BC ∥ AD, угол BCD равен 180° − ∠D = 90° + α.

Из AB = BC следует, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, поэтому ∠BAC = ∠ACB. Угол ACB вместе с ∠ACD образует ∠BCD, следовательно, ∠ACB = α. Значит, ∠BAC = α.

В треугольнике ABC тогда ∠ABC = 180° − 2α. Но AB = BC, а угол при вершине B равен углу между BA и BC; при параллельности BC ∥ AD это согласуется с ∠A = 2α. Из диаграммы не задано дополнительных числовых данных, а условия AB = BC = CD и AC ⟂ CD оставляют углы зависимыми от α: из равенства AB = CD получаем, по теореме синусов в треугольниках ABC и ACD, 2 sin α = 1, то есть α = 30°.

Тогда ∠A = 2α = 60°, ∠D = 90° − α = 60°, а смежные с ними углы трапеции равны 120°.

Ответ: ∠A = ∠D = 60°, ∠B = ∠C = 120°.