20. ABCD — параллелограмм, AC ⟂ BD, P_ABCD = 24 см, ∠1 : ∠2 = 1 : 2. Найдите P_ABC.

Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то его стороны равны: параллелограмм является ромбом.

Так как \(P_{ABCD}=24\) см, сторона ромба равна:

\(AB=BC=\frac{24}{4}=6\) см.

Диагональ \(BD\) делит угол \(B\) на два угла, поэтому \(\angle B=\angle1+\angle2\). В прямоугольном треугольнике, образованном половинами диагоналей, \(\angle1+\angle2=90^\circ\). Из отношения \(1:2\):

\(\angle1=30^\circ\), \(\angle2=60^\circ\), поэтому \(\angle B=90^\circ\)?

Однако по рисунку углы 1 и 2 являются углами при разных вершинах треугольника \(BOC\), а третий угол прямой. Поэтому треугольник \(BOC\) имеет углы \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\). В ромбе диагональ \(AC\) делит угол \(C"); при этом угол \(B=60^\circ\), и треугольник \(ABC\) равносторонний. Следовательно, \(AC=6\) см.

\(P_{ABC}=AB+BC+AC=6+6+6=18\) см.

Ответ: 18 см.