208. Найдите производные функций: a) f (x) = x² + x³; б) f (x) = x² + 3x - 1; в) f (x) = 1/x + 5x - 2; г) f (x) = x² + √x.

Решение:

1. a) f(x) = x² + x³

   По правилу дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = n \cdot x^{n-1} \) и суммы функций:

   \[ f'(x) = (x^2)' + (x^3)' = 2x^{2-1} + 3x^{3-1} = 2x + 3x^2 \]

2. б) f(x) = x² + 3x - 1

   Используем правило дифференцирования степенной функции и линейной функции \( (kx)' = k \):

   \[ f'(x) = (x^2)' + (3x)' - (1)' = 2x + 3 - 0 = 2x + 3 \]

3. в) f(x) = 1/x + 5x - 2

   Перепишем \( 1/x \) как \( x^{-1} \). Используем правило дифференцирования степенной функции и линейной функции:

   \[ f'(x) = (x^{-1})' + (5x)' - (2)' = -1 \cdot x^{-1-1} + 5 - 0 = -x^{-2} + 5 = -\frac{1}{x^2} + 5 \]

4. г) f(x) = x² + √x

   Перепишем \( \sqrt{x} \) как \( x^{1/2} \). Используем правило дифференцирования степенной функции:

   \[ f'(x) = (x^2)' + (x^{1/2})' = 2x + \frac{1}{2} x^{1/2 - 1} = 2x + \frac{1}{2} x^{-1/2} = 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

Ответ:

• a) \( 2x + 3x^2 \)
• б) \( 2x + 3 \)
• в) \( -\frac{1}{x^2} + 5 \)
• г) \( 2x + \frac{1}{2\sqrt{x}} \)