211. Найдите производные функций: a) y = x⁸ - 3x⁴ - x + 5; б) y = x⁷ - 4x⁵ + 2x - 1; в) y = x⁴/3 - x²/2 + √x; г) y = x²/2 + x³/3 + 1.

Решение:

Для нахождения производных этих функций будем использовать правило дифференцирования степенной функции \( (x^n)' = nx^{n-1} \) и свойства линейности производной.

1. a) y = x⁸ - 3x⁴ - x + 5

   \[ y' = (x^8)' - (3x^4)' - (x)' + (5)' \]

   \[ y' = 8x^7 - 3 \cdot 4x^3 - 1 + 0 \]

   \[ y' = 8x^7 - 12x^3 - 1 \]

2. б) y = x⁷ - 4x⁵ + 2x - 1

   \[ y' = (x^7)' - (4x^5)' + (2x)' - (1)' \]

   \[ y' = 7x^6 - 4 \cdot 5x^4 + 2 - 0 \]

   \[ y' = 7x^6 - 20x^4 + 2 \]

3. в) y = x⁴/3 - x²/2 + √x

   Перепишем \( \sqrt{x} \) как \( x^{1/2} \).

   \[ y' = (\frac{1}{3}x^4)' - (\frac{1}{2}x^2)' + (x^{1/2})' \]

   \[ y' = \frac{1}{3} \cdot 4x^3 - \frac{1}{2} \cdot 2x + \frac{1}{2}x^{-1/2} \]

   \[ y' = \frac{4}{3}x^3 - x + \frac{1}{2\sqrt{x}} \]

4. г) y = x²/2 + x³/3 + 1

   \[ y' = (\frac{1}{2}x^2)' + (\frac{1}{3}x^3)' + (1)' \]

   \[ y' = \frac{1}{2} \cdot 2x + \frac{1}{3} \cdot 3x^2 + 0 \]

   \[ y' = x + x^2 \]

Ответ:

• a) \( 8x^7 - 12x^3 - 1 \)
• б) \( 7x^6 - 20x^4 + 2 \)
• в) \( \frac{4}{3}x^3 - x + \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
• г) \( x + x^2 \)