216. Найдите значения x, при которых производная функции f равна нулю: a) f (x) = x⁵ - 1/3 x³ + 5x; б) f (x) = 2x⁴ - x⁸; в) f (x) = x³ - 3x² + 1; г) f (x) = x⁴ - 12x².

Решение:

Чтобы найти значения \( x \), при которых производная \( f'(x) \) равна нулю, сначала найдем производную каждой функции, а затем решим уравнение \( f'(x) = 0 \).

1. a) f (x) = x⁵ - 1/3 x³ + 5x

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (x⁵)' - (1/3 x³)' + (5x)' \]

   \[ f'(x) = 5x⁴ - 1/3 \cdot 3x² + 5 \]

   \[ f'(x) = 5x⁴ - x² + 5 \]

   Приравниваем к нулю:

   \[ 5x⁴ - x² + 5 = 0 \]

   Это биквадратное уравнение. Пусть \( t = x² \). Тогда \( 5t² - t + 5 = 0 \). Дискриминант \( D = (-1)² - 4(5)(5) = 1 - 100 = -99 \). Так как дискриминант отрицательный, действительных корней для \( t \) нет, а следовательно, и для \( x \) нет.

2. б) f (x) = 2x⁴ - x⁸

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (2x⁴)' - (x⁸)' \]

   \[ f'(x) = 8x³ - 8x⁷ \]

   Приравниваем к нулю:

   \[ 8x³ - 8x⁷ = 0 \]

   \[ 8x³(1 - x⁴) = 0 \]

   Отсюда \( x³ = 0 \) или \( 1 - x⁴ = 0 \).

   \[ x = 0 \]

   И \( x⁴ = 1 \), что дает \( x = 1 \) и \( x = -1 \).

3. в) f (x) = x³ - 3x² + 1

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (x³)' - (3x²)' + (1)' \]

   \[ f'(x) = 3x² - 6x \]

   Приравниваем к нулю:

   \[ 3x² - 6x = 0 \]

   \[ 3x(x - 2) = 0 \]

   Отсюда \( x = 0 \) или \( x - 2 = 0 \), что дает \( x = 2 \).

4. г) f (x) = x⁴ - 12x²

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (x⁴)' - (12x²)' \]

   \[ f'(x) = 4x³ - 24x \]

   Приравниваем к нулю:

   \[ 4x³ - 24x = 0 \]

   \[ 4x(x² - 6) = 0 \]

   Отсюда \( 4x = 0 \) или \( x² - 6 = 0 \).

   \[ x = 0 \]

   И \( x² = 6 \), что дает \( x = \sqrt{6} \) и \( x = -\sqrt{6} \).

Ответ:

• a) Действительных решений нет.
• б) \( x = 0, x = 1, x = -1 \)
• в) \( x = 0, x = 2 \)
• г) \( x = 0, x = \sqrt{6}, x = -\sqrt{6} \)