215. Найдите производную функции: a) f (x) = (x³ - 3x) / (1 + 4x⁵); б) f (x) = (5 - 2x⁶) / (1 - x³).

Решение:

Для нахождения производных этих функций будем использовать правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

1. a) f (x) = (x³ - 3x) / (1 + 4x⁵)

   Пусть \( u = x³ - 3x \) и \( v = 1 + 4x⁵ \). Тогда \( u' = 3x² - 3 \) и \( v' = 4 \cdot 5x⁴ = 20x⁴ \).

   \[ f'(x) = \frac{(3x^2 - 3)(1 + 4x^5) - (x^3 - 3x)(20x^4)}{(1 + 4x^5)^2} \]

   \[ f'(x) = \frac{(3x^2 + 12x^7 - 3 - 12x^5) - (20x^7 - 60x^5)}{(1 + 4x^5)^2} \]

   \[ f'(x) = \frac{3x^2 + 12x^7 - 3 - 12x^5 - 20x^7 + 60x^5}{(1 + 4x^5)^2} \]

   \[ f'(x) = \frac{-8x^7 + 48x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2} \]

2. б) f (x) = (5 - 2x⁶) / (1 - x³)

   Пусть \( u = 5 - 2x⁶ \) и \( v = 1 - x³ \). Тогда \( u' = -12x⁵ \) и \( v' = -3x² \).

   \[ f'(x) = \frac{(-12x^5)(1 - x^3) - (5 - 2x^6)(-3x^2)}{(1 - x^3)^2} \]

   \[ f'(x) = \frac{(-12x^5 + 12x^8) - (-15x^2 + 6x^8)}{(1 - x^3)^2} \]

   \[ f'(x) = \frac{-12x^5 + 12x^8 + 15x^2 - 6x^8}{(1 - x^3)^2} \]

   \[ f'(x) = \frac{6x^8 - 12x^5 + 15x^2}{(1 - x^3)^2} \]

Ответ:

• a) \( \frac{-8x^7 + 48x^5 + 3x^2 - 3}{(1 + 4x^5)^2} \)
• б) \( \frac{6x^8 - 12x^5 + 15x^2}{(1 - x^3)^2} \)