214. Решите неравенство f'(x) < 0, если: a) f (x) = 4x - 3x²; б) f (x) = x³ + 1,5x²; в) f (x) = x² - 5x; г) f (x) = 4x - x³.

Решение:

Сначала найдем производную \( f'(x) \) для каждой функции, а затем решим неравенство \( f'(x) < 0 \).

1. a) f (x) = 4x - 3x²

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (4x)' - (3x²)' = 4 - 6x \]

   Решаем неравенство:

   \[ 4 - 6x < 0 \]

   \[ 4 < 6x \]

   \[ \frac{4}{6} < x \]

   \[ \frac{2}{3} < x \]

   Итак, \( x > 2/3 \).

2. б) f (x) = x³ + 1,5x²

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (x³)' + (1.5x²)' = 3x² + 1.5 \cdot 2x \]

   \[ f'(x) = 3x² + 3x \]

   Решаем неравенство:

   \[ 3x² + 3x < 0 \]

   \[ 3x(x + 1) < 0 \]

   Это квадратичное неравенство. Корни уравнения \( 3x(x + 1) = 0 \) равны \( x = 0 \) и \( x = -1 \). Парабола \( y = 3x² + 3x \) ветвями вверх, поэтому отрицательные значения она принимает между корнями.

   Итак, \( -1 < x < 0 \).

3. в) f (x) = x² - 5x

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (x²)' - (5x)' = 2x - 5 \]

   Решаем неравенство:

   \[ 2x - 5 < 0 \]

   \[ 2x < 5 \]

   \[ x < 5/2 \]

   Итак, \( x < 5/2 \).

4. г) f (x) = 4x - x³

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (4x)' - (x³)' = 4 - 3x² \]

   Решаем неравенство:

   \[ 4 - 3x² < 0 \]

   \[ 4 < 3x² \]

   \[ \frac{4}{3} < x² \]

   Это означает, что \( x > \sqrt{4/3} \) или \( x < -\sqrt{4/3} \).

   \[ x > \frac{2}{\sqrt{3}} \] или \( x < -\frac{2}{\sqrt{3}} \).

Ответ:

• a) \( x > 2/3 \)
• б) \( -1 < x < 0 \)
• в) \( x < 5/2 \)
• г) \( x > \frac{2}{\sqrt{3}} \) или \( x < -\frac{2}{\sqrt{3}} \)