210. Найдите производные функций: a) y = (1 + 2x) / (3 - 5x); б) y = x² / (2x - 1); в) y = (3x - 2) / (5x + 8); г) y = (3 - 4x) / x².

Решение:

Для нахождения производных этих функций будем использовать правило дифференцирования частного: \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

1. a) y = (1 + 2x) / (3 - 5x)

   Пусть \( u = 1 + 2x \) и \( v = 3 - 5x \). Тогда \( u' = 2 \) и \( v' = -5 \).

   \[ y' = \frac{2(3 - 5x) - (1 + 2x)(-5)}{(3 - 5x)^2} = \frac{6 - 10x + 5 + 10x}{(3 - 5x)^2} = \frac{11}{(3 - 5x)^2} \]

2. б) y = x² / (2x - 1)

   Пусть \( u = x^2 \) и \( v = 2x - 1 \). Тогда \( u' = 2x \) и \( v' = 2 \).

   \[ y' = \frac{2x(2x - 1) - x^2(2)}{(2x - 1)^2} = \frac{4x^2 - 2x - 2x^2}{(2x - 1)^2} = \frac{2x^2 - 2x}{(2x - 1)^2} \]

3. в) y = (3x - 2) / (5x + 8)

   Пусть \( u = 3x - 2 \) и \( v = 5x + 8 \). Тогда \( u' = 3 \) и \( v' = 5 \).

   \[ y' = \frac{3(5x + 8) - (3x - 2)(5)}{(5x + 8)^2} = \frac{15x + 24 - 15x + 10}{(5x + 8)^2} = \frac{34}{(5x + 8)^2} \]

4. г) y = (3 - 4x) / x²

   Пусть \( u = 3 - 4x \) и \( v = x^2 \). Тогда \( u' = -4 \) и \( v' = 2x \).

   \[ y' = \frac{-4(x^2) - (3 - 4x)(2x)}{(x^2)^2} = \frac{-4x^2 - 6x + 8x^2}{x^4} = \frac{4x^2 - 6x}{x^4} = \frac{x(4x - 6)}{x^4} = \frac{4x - 6}{x^3} \]

Ответ:

• a) \( \frac{11}{(3 - 5x)^2} \)
• б) \( \frac{2x^2 - 2x}{(2x - 1)^2} \)
• в) \( \frac{34}{(5x + 8)^2} \)
• г) \( \frac{4x - 6}{x^3} \)