212. Вычислите значения производной функции в данных точках: a) f (x) = x² - 3x, x = -1/2, x = 2; б) f (x) = x - 4√x, x = 0.01, x = 4; в) f (x) = 1/x, x = √2, x = -1/√3; г) f (x) = (3 - x) / (2 + x), x = -3, x = 0.

Решение:

Сначала найдем производную каждой функции, а затем подставим указанные значения x.

1. a) f (x) = x² - 3x

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (x^2)' - (3x)' = 2x - 3 \]

   Подставляем значения x:

   При \( x = -1/2 \):

   \[ f'(-1/2) = 2(-1/2) - 3 = -1 - 3 = -4 \]

   При \( x = 2 \):

   \[ f'(2) = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 \]

2. б) f (x) = x - 4√x

   Перепишем \( \sqrt{x} \) как \( x^{1/2} \).

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (x)' - (4x^{1/2})' = 1 - 4 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}} \]

   Подставляем значения x:

   При \( x = 0.01 \):

   \[ f'(0.01) = 1 - \frac{2}{\sqrt{0.01}} = 1 - \frac{2}{0.1} = 1 - 20 = -19 \]

   При \( x = 4 \):

   \[ f'(4) = 1 - \frac{2}{\sqrt{4}} = 1 - \frac{2}{2} = 1 - 1 = 0 \]

3. в) f (x) = 1/x

   Перепишем \( 1/x \) как \( x^{-1} \).

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \]

   Подставляем значения x:

   При \( x = \sqrt{2} \):

   \[ f'(\sqrt{2}) = -\frac{1}{(\sqrt{2})^2} = -\frac{1}{2} \]

   При \( x = -1/\sqrt{3} \):

   \[ f'(-1/\sqrt{3}) = -\frac{1}{(-1/\sqrt{3})^2} = -\frac{1}{1/3} = -3 \]

4. г) f (x) = (3 - x) / (2 + x)

   Используем правило дифференцирования частного \( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \).

   Пусть \( u = 3 - x \) и \( v = 2 + x \). Тогда \( u' = -1 \) и \( v' = 1 \).

   \[ f'(x) = \frac{-1(2 + x) - (3 - x)(1)}{(2 + x)^2} = \frac{-2 - x - 3 + x}{(2 + x)^2} = \frac{-5}{(2 + x)^2} \]

   Подставляем значения x:

   При \( x = -3 \):

   \[ f'(-3) = \frac{-5}{(2 + (-3))^2} = \frac{-5}{(-1)^2} = \frac{-5}{1} = -5 \]

   При \( x = 0 \):

   \[ f'(0) = \frac{-5}{(2 + 0)^2} = \frac{-5}{2^2} = \frac{-5}{4} \]

Ответ:

• a) \( -4 \) при \( x = -1/2 \), \( 1 \) при \( x = 2 \)
• б) \( -19 \) при \( x = 0.01 \), \( 0 \) при \( x = 4 \)
• в) \( -1/2 \) при \( x = \sqrt{2} \), \( -3 \) при \( x = -1/\sqrt{3} \)
• г) \( -5 \) при \( x = -3 \), \( -5/4 \) при \( x = 0 \)