213. Решите уравнение f'(x) = 0, если: a) f (x) = 2x² - x; б) f (x) = -2/3 x³ + x² + 12; в) f (x) = x³/3 - 1,5x² - 4x; г) f (x) = 2x - 5x².

Решение:

Чтобы решить уравнение \( f'(x) = 0 \), сначала найдем производную \( f'(x) \) для каждой функции, а затем решим полученное уравнение.

1. a) f (x) = 2x² - x

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (2x^2)' - (x)' = 4x - 1 \]

   Приравниваем к нулю:

   \[ 4x - 1 = 0 \]

   \[ 4x = 1 \]

   \[ x = 1/4 \]

2. б) f (x) = -2/3 x³ + x² + 12

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (-2/3 x³)' + (x²)' + (12)' \]

   \[ f'(x) = -2/3 \cdot 3x² + 2x + 0 \]

   \[ f'(x) = -2x² + 2x \]

   Приравниваем к нулю:

   \[ -2x² + 2x = 0 \]

   \[ -2x(x - 1) = 0 \]

   Следовательно, \( x = 0 \) или \( x - 1 = 0 \), что дает \( x = 1 \).

3. в) f (x) = x³/3 - 1,5x² - 4x

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (x³/3)' - (1.5x²)' - (4x)' \]

   \[ f'(x) = 1/3 \cdot 3x² - 1.5 \cdot 2x - 4 \]

   \[ f'(x) = x² - 3x - 4 \]

   Приравниваем к нулю:

   \[ x² - 3x - 4 = 0 \]

   Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-3)² - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).

   \[ x_1 = \frac{-(-3) + 5}{2(1)} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

   \[ x_2 = \frac{-(-3) - 5}{2(1)} = \frac{3 - 5}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

4. г) f (x) = 2x - 5x²

   Находим производную:

   \[ f'(x) = (2x)' - (5x²)' = 2 - 5 \cdot 2x \]

   \[ f'(x) = 2 - 10x \]

   Приравниваем к нулю:

   \[ 2 - 10x = 0 \]

   \[ 10x = 2 \]

   \[ x = 2/10 = 1/5 \]

Ответ:

• a) \( x = 1/4 \)
• б) \( x = 0, x = 1 \)
• в) \( x = 4, x = -1 \)
• г) \( x = 1/5 \)