21. (3 балла) Решите систему уравнений: \(\begin{cases} x - y = 8 \\ 2^{x-3y} = 16 \end{cases}\)

Решение:

Дана система уравнений:

\(\begin{cases} x - y = 8 + + + + + (1) \\ 2^{x-3y} = 16 + + + + + (2) \end{cases}\)

1. Упростим второе уравнение:

Заметим, что \( 16 = 2^4 \). Подставим это в уравнение (2):

\( 2^{x-3y} = 2^4 \)

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

\( x - 3y = 4 + + + + + (3) \)

2. Решим полученную систему двух линейных уравнений:

\(\begin{cases} x - y = 8 + + + + + (1) \\ x - 3y = 4 + + + + + (3) \end{cases}\)

Вычтем уравнение (3) из уравнения (1), чтобы исключить \( x \):

\( (x - y) - (x - 3y) = 8 - 4 \)

\( x - y - x + 3y = 4 \)

\( 2y = 4 \)

\( y = 2 \)

3. Найдем \( x \), подставив \( y=2 \) в уравнение (1):

\( x - 2 = 8 \)

\( x = 8 + 2 \)

\( x = 10 \)

4. Проверка:

Подставим \( x = 10 \) и \( y = 2 \) в исходные уравнения:

• Уравнение (1): \( 10 - 2 = 8 \) (Верно)
• Уравнение (2): \( 2^{10 - 3 · 2} = 2^{10 - 6} = 2^4 = 16 \) (Верно)

Ответ: \( x = 10, y = 2 \).