21. Длина биссектрисы l_c, проведённой к стороне c треугольника со сторонами a, b и c, вычисляется по формуле l_c = 1/(a+b) * sqrt(ab((a+b)²-c²)). Найдите длину биссектрисы l_c, если a=6, b=8 и c=7.

Решение:

Используем формулу для нахождения длины биссектрисы:

\[ l_c = \frac{1}{a+b} \sqrt{ab((a+b)^2-c^2)} \]

Подставим известные значения: \( a=6 \), \( b=8 \), \( c=7 \).

Сначала вычислим \( a+b \):

\[ a+b = 6+8 = 14 \]

Теперь вычислим \( (a+b)^2 \):

\[ (a+b)^2 = 14^2 = 196 \]

Теперь подставим все в формулу:

\[ l_c = \frac{1}{14} \sqrt{6 \cdot 8 (196 - 7^2)} \]

\[ l_c = \frac{1}{14} \sqrt{48 (196 - 49)} \]

\[ l_c = \frac{1}{14} \sqrt{48 \cdot 147} \]

Разложим числа на множители, чтобы упростить извлечение корня:

\( 48 = 16 \cdot 3 \)

\( 147 = 49 \cdot 3 \)

\[ l_c = \frac{1}{14} \sqrt{16 \cdot 3 \cdot 49 \cdot 3} \]

\[ l_c = \frac{1}{14} \sqrt{16 \cdot 49 \cdot 9} \]

Извлечем корень:

\[ l_c = \frac{1}{14} \cdot (4 \cdot 7 \cdot 3) \]

\[ l_c = \frac{1}{14} \cdot 84 \]

\[ l_c = \frac{84}{14} \]

\[ l_c = 6 \]

Ответ: 6.