21. Найдите длину ребра куба, площадь поверхности и объем которого выражаются одним и тем же числом.

Решение:

Пусть длина ребра куба равна \( a \).

Площадь поверхности куба равна \( S = 6a^2 \).

Объем куба равен \( V = a^3 \).

По условию задачи, \( a = S = V \).

Приравниваем объем и площадь поверхности: \( a^3 = 6a^2 \).

Так как \( a \) — длина ребра, то \( a > 0 \). Можно разделить обе части на \( a^2 \):

\[ a = 6 \]

Проверим, равно ли ребро 6:

• Длина ребра = \( 6 \).
• Площадь поверхности = \( 6 × 6^2 = 6 × 36 = 216 \).
• Объем = \( 6^3 = 216 \).

Значит, длина ребра должна быть такой, чтобы \( a = 6a^2 = a^3 \).

Из \( a = 6a^2 \) получаем \( a=6 \) (при \( a \ne 0 \)).

Из \( 6a^2 = a^3 \) получаем \( a^3 - 6a^2 = 0 \rightarrow a^2(a-6)=0 \), что дает \( a=0 \) или \( a=6 \).

Длина ребра не может быть 0, поэтому \( a=6 \).

Проверим условие \( a=S=V \): \( 6 = 216 = 216 \), что неверно.

Возможно, имелось в виду, что числовое значение длины ребра, числовое значение площади поверхности и числовое значение объема равны. То есть \( a = 6a^2 = a^3 \).

Решая \( a = 6a^2 \), получаем \( a = 6 \) (так как \( a \neq 0 \)).

Решая \( 6a^2 = a^3 \), получаем \( a^2(a-6) = 0 \), что дает \( a=0 \) или \( a=6 \).

Таким образом, если \( a = 6 \), то \( S = 6 × 6^2 = 216 \) и \( V = 6^3 = 216 \).

Значит, чтобы длина ребра, площадь поверхности и объем выражались одним и тем же числом, это число должно быть 216. А длина ребра должна быть 6.

Ответ: Длина ребра куба равна 6. Площадь поверхности и объем равны 216.