В выпуклом многоугольнике имеется пять углов с градусной мерой 140° каждый, остальные углы острые. Сколько сторон у этого многоугольника?

Решение:

Сумма внешних углов любого выпуклого многоугольника равна 360°. Пусть \( n \) — количество сторон многоугольника, а \( k \) — количество тупых углов (140°).

Внешний угол, соответствующий углу 140°, равен \( 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

Если у нас есть 5 углов по 140°, то соответствующих им внешних углов будет 5 по 40°.

Сумма внешних углов, соответствующих этим 5 углам, равна \( 5 × 40^{\circ} = 200^{\circ} \).

Остальная часть суммы внешних углов (360° - 200° = 160°) приходится на острые углы.

Поскольку острые углы имеют градусную меру меньше 90°, их внешние углы будут больше 90°.

Если бы все оставшиеся углы были острыми, то каждый из них был бы меньше 90°, а их внешние углы были бы больше 90°.

Давайте предположим, что у нас \( m \) острых углов. Сумма их внешних углов должна быть 160°.

Если \( m=1 \), внешний угол = 160°, внутренний = 20° (острый). Количество сторон \( n = 5 + 1 = 6 \). Сумма углов шестиугольника: \( (6-2) × 180^{\circ} = 4 × 180^{\circ} = 720^{\circ} \). Сумма внутренних углов: \( 5 × 140^{\circ} + 20^{\circ} = 700^{\circ} + 20^{\circ} = 720^{\circ} \). Это подходит.

Если \( m=2 \), то сумма двух внешних углов = 160°. Значит, каждый внешний угол < 160°, и внутренний < 90°. Например, 80° и 80°. Тогда количество сторон \( n = 5 + 2 = 7 \). Сумма углов семиугольника: \( (7-2) × 180^{\circ} = 5 × 180^{\circ} = 900^{\circ} \). Сумма внутренних углов: \( 5 × 140^{\circ} + 2 × (180^{\circ}-80^{\circ}) = 700^{\circ} + 2 × 100^{\circ} = 700^{\circ} + 200^{\circ} = 900^{\circ} \). Это тоже подходит.

Однако, в задаче сказано «остальные углы острые».

Проверим еще раз: 5 углов по 140°. Это 5 тупых углов. Остальные углы острые (меньше 90°).

Если бы было 6 сторон (шестиугольник), то 5 углов по 140°, значит, один оставшийся угол = \( 720^{\circ} - 5 × 140^{\circ} = 720^{\circ} - 700^{\circ} = 20^{\circ} \). Этот угол острый. Значит, 6 сторон подходит.

Если бы было 7 сторон (семиугольник), то 5 углов по 140°, значит, сумма двух оставшихся углов = \( 900^{\circ} - 700^{\circ} = 200^{\circ} \). Чтобы оба угла были острыми, они должны быть меньше 90°. Сумма двух углов меньше 90° не может быть 200°.

Следовательно, многоугольник имеет 6 сторон.

Ответ: 6 сторон.