23. Отрезки АВ и CD являются хордами окружности. Найдите длину хорды CD, если АВ=24, а расстояния от центра окружности до хорд АВ и CD равны соответственно 35 и 12.

Решение:

Пусть \( O \) — центр окружности, \( r \) — её радиус.

Расстояние от центра до хорды перпендикулярно к хорде и делит её пополам.

Для хорды АВ:

• \( AB = 24 \), значит \( AO_1 = OB_1 = 12 \) (где \( O_1 \) — середина АВ).
• Расстояние от центра до АВ равно 35.
• В прямоугольном треугольнике \( OO_1A \) по теореме Пифагора найдём радиус \( r \):
• \( r^2 = AO_1^2 + OO_1^2 = 12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369 \)
• \( r = \sqrt{1369} = 37 \)

Теперь для хорды CD:

• Расстояние от центра до CD равно 12.
• Пусть \( O_2 \) — середина CD. В прямоугольном треугольнике \( OO_2C \) имеем:

• \( OC^2 = OO_2^2 + O_2C^2 \)
• \( r^2 = 12^2 + O_2C^2 \)
• \( 37^2 = 144 + O_2C^2 \)
• \( 1369 = 144 + O_2C^2 \)
• \( O_2C^2 = 1369 - 144 = 1225 \)
• \( O_2C = \sqrt{1225} = 35 \)

Длина хорды CD равна \( 2 \u0013 O_2C \) (так как \( O_2 \) — середина).

• \( CD = 2 \u0013 35 = 70 \)

Ответ: 70