23. В треугольнике ABC <A=40°,<B=70°. Через вершину B проведена прямая BD так, что луч BC — биссектриса угла ABD. Докажите, что AC и BD параллельны.

Решение:

Дано: \( \triangle ABC \), \( \angle A = 40^{\circ} \), \( \angle B = 70^{\circ} \). Луч BC — биссектриса \( \angle ABD \).

Доказать: \( AC \parallel BD \).

1. Найдем \( \angle C \) в \( \triangle ABC \): \( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 40^{\circ} - 70^{\circ} = 70^{\circ} \).
2. Так как \( \angle B = \angle C = 70^{\circ} \), то \( \triangle ABC \) — равнобедренный с основанием AC.
3. По условию, BC — биссектриса \( \angle ABD \). Это значит, что \( \angle ABC = \angle CBD \).
4. \( \angle ABC = 70^{\circ} \) (дано).
5. Значит, \( \angle CBD = 70^{\circ} \).
6. \( \angle ABD = \angle ABC + \angle CBD = 70^{\circ} + 70^{\circ} = 140^{\circ} \).
7. Теперь рассмотрим углы \( \angle ACB \) и \( \angle CBD \). \( \angle ACB = 70^{\circ} \) (из п. 1). \( \angle CBD = 70^{\circ} \) (из п. 5).
8. Так как \( \angle ACB = \angle CBD = 70^{\circ} \) и эти углы являются накрест лежащими при прямых AC, BD и секущей BC, то \( AC \parallel BD \).

Доказано.