32. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Угол B равен 30°. Гипотенуза равна 12, а катет CB равен 10. Определите периметр треугольника и угол A.

Решение:

По условию, \( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \).

1. Найдем угол A:

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°.

\( \angle A + \angle B = 90^{\circ} \)

\( \angle A + 30^{\circ} = 90^{\circ} \)

\( \angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

2. Определим, какие стороны даны:

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла. В \( \triangle ABC \) гипотенуза — AB. По условию, \( AB = 12 \).

Катет — сторона, прилежащая к прямому углу. По условию, катет CB равен 10. Это означает, что \( BC = 10 \).

3. Найдем второй катет AC:

Используем теорему Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)

\( 12^2 = AC^2 + 10^2 \)

\( 144 = AC^2 + 100 \)

\( AC^2 = 144 - 100 \)

\( AC^2 = 44 \)

\( AC = \sqrt{44} = \sqrt{4 \cdot 11} = 2\sqrt{11} \).

4. Найдем периметр треугольника:

Периметр (P) — это сумма длин всех сторон.

\( P = AB + BC + AC \)

\( P = 12 + 10 + 2\sqrt{11} \)

\( P = 22 + 2\sqrt{11} \).

Ответ: Периметр треугольника равен \( 22 + 2\sqrt{11} \), угол A равен 60°.