23. Задуманное число при делении на 4 дает остаток 2, при делении на 11 — остаток 9, при делении на 14 — остаток 12. Какое число задумано, если известно, что оно наименьшее из возможных?

Из условий деления на 4 и на 14 получаем число, сравнимое с 26 по модулю 28: числа, дающие остаток 12 при делении на 14, имеют вид 12 + 14k; подходящие из них равны 26 по модулю 28.

Запишем число как 26 + 28k. Условие деления на 11 дает 4 + 6k ≡ 9 (mod 11), откуда 6k ≡ 5 (mod 11), значит, k ≡ 10 (mod 11).

Наименьшее неотрицательное значение k равно 10, поэтому число равно 26 + 28 · 10 = 306.

Ответ: 306.