25. Если между цифрами двузначного числа вписать это же двузначное число, то полученное четырехзначное число будет больше первоначального в 77 раз. Найти это число.

Пусть исходное двузначное число равно 10a + b. После вставки его между цифрами получается число с цифрами a, a, b, b, то есть 1101a + 11b.

По условию 1101a + 11b = 77(10a + b). После упрощения получаем 331a = 66b.

Но a — цифра от 1 до 9, а b — цифра от 0 до 9. Левая часть положительна и делится на 331, тогда как правая не превосходит 594; равенство возможно только если a = 0, что не может быть первой цифрой двузначного числа.

Ответ: такого двузначного числа не существует.