27. Определить, является ли число 10ⁿ + 18n − 1 простым или составным при любом натуральном числе n.

При натуральном n ≥ 1 имеем 10ⁿ ≡ 1 (mod 9) и 18n ≡ 0 (mod 9). Поэтому 10ⁿ + 18n − 1 делится на 9.

При n ≥ 1 число больше 9, следовательно, оно имеет делитель 9, отличный от 1 и самого числа, и является составным.

Ответ: число составное при любом натуральном n ≥ 1.