24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1, BB1 и CC1. Докажите, что углы CC1A1 и CAA1 равны.

Решение: Рассмотрим четырехугольник A1BC1H, где H - точка пересечения высот (ортоцентр). Углы BA1H и BC1H равны 90°, так как AА1 и СС1 - высоты. Значит, вокруг четырехугольника можно описать окружность. Углы C1A1B и C1HB опираются на одну и ту же дугу окружности и, следовательно, они равны. Аналогично, углы A1C1B и A1HB равны. Теперь рассмотрим четырехугольник CB1HA1. Углы HB1C и HA1C прямые, так как BB1 и AA1 - высоты, значит вокруг четырехугольника можно описать окружность. Угол A1HB1 равен углу A1CB1. Углы C1HB = A1HB как вертикальные углы. Отсюда следует, что углы A1C1B = C1HB = A1HB = A1CB1. Аналогично покажем, что угол C1A1B = B1HA1 Рассмотрим треугольник AA1C. Угол C1A1C равен 90 градусов. Угол CAA1 равен 90 - угол AСA1. Рассмотрим треугольник CC1A. Угол CC1A равен 90 градусов. Угол CC1A1 равен 90 - угол C1AC = 90 - угол CAA1. Значит, углы СС1А1 и САА1 равны.