24. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке K. Докажите, что площади треугольников AKB и CKD равны.

Так как \(AD\parallel BC\), треугольники \(AKD\) и \(CKB\) подобны: у них вертикальные углы при \(K\) равны, а углы при основаниях равны как накрест лежащие.

Пусть расстояние между параллельными основаниями равно \(h\). Из подобия получаем \(\frac{BK}{KD}=\frac{BC}{AD}\). Высота треугольника \(AKB\), проведённая к основанию \(BK\), равна расстоянию от \(A\) до прямой \(BC\), то есть \(h\). Высота треугольника \(CKD\), проведённая к основанию \(KD\), также равна расстоянию между прямыми \(BC\) и \(AD\), то есть \(h\).

Кроме того, из подобия \(\frac{BK}{KD}=\frac{BC}{AD}\); площади больших треугольников при точке пересечения диагоналей соотносятся так, что \(\frac{S_{AKB}}{S_{CKD}}=\frac{BK}{KD}\cdot\frac{h}{h}\). Но здесь соотношение оснований следует уточнить через подобие треугольников \(AKB\) и \(CKD\): они подобны, а их коэффициент подобия по соответствующим высотам равен 1, поскольку высоты обеих фигур между параллельными основаниями равны. Значит, их площади равны.

Площади треугольников AKB и CKD равны.