24. Высоты AA₁ и BB₁ острого треугольника ABC пересекаются в точке E. Докажите, что треугольники AA₁B₁ и ABB₁ равны.

В таком виде утверждение неверно: указанные треугольники не обязательно равны.

Контрпример: возьмём остроугольный треугольник с координатами \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(1;3)\). Основания высот находятся в точках \(A_1(2;2)\) и \(B_1(0.4;1.2)\). Тогда в треугольнике \(AA_1B_1\) стороны имеют длины примерно 2.83, 1.79 и 1.26, а в треугольнике \(ABB_1\) — 4, 3.79 и 1.26. Наборы длин сторон различаются, поэтому треугольники не равны.

Возможно, в условии опечатка. Для доказательства равенства требуется уточнить формулировку.