240. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведена биссектриса AD. Найдите углы этого треугольника, если ∠ADB = 110°.

В треугольнике ABD ∠ADB=110. Так как сумма углов треугольника равна 180, ∠BAD + ∠ABD = 180 - ∠ADB=180 - 110 = 70. AD - биссектриса угла A. ∠BAD = ∠CAD. ∠A = ∠BAD+∠CAD. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Обозначим ∠ABC = ∠ACB=y. Тогда ∠BAD = 70 - y. Так как AD биссектриса, ∠CAD = 70-y. В треугольнике ADC сумма углов 180. ∠ADC = 180-110=70. y+(70-y) + 70= 180. Так как ∠ABC = ∠ACB то 2у+2*(70-y)=2*70. Так как ∠ADB=110, то ∠ADC = 180 - 110 = 70. Сумма углов в треугольнике ADC равна 180. ∠CAD + ∠C = 180-70=110. ∠CAD = ∠BAD. Пусть ∠C=y. Тогда ∠A=2(110-y). Значит 2(110-y) + y +y= 180. 220-2y + 2y =180. 220 = 180? А если у = 20. то 2*90 + 20 = 200, не сходится. Пусть ∠BAD = x, ∠ABD = z. x+z=70. ∠BAC=2x. ∠C=z, 2x+2z = 180-y, тогда y=180-2x-z. 110=180-x-y. У нас есть x+y=70, x+z=70. Тогда 2x+2y =180, x+y=90, но z = 180-110-y. x+180-110-x-y=70. ∠A+∠B+∠C = 180. 2x+y+y = 180. y+x=70. x+x+2x=180-y, 3x=180-y, 70+70+y=180. y=40, x=35, Значит, углы треугольника 70, 40, 70. Ответ: 70°, 40°, 70°.