244. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведённой из той же вершины.

Рассмотрим треугольник ABC. Пусть BM - медиана, проведенная из вершины B к стороне AC, и BH - высота, проведенная из той же вершины B к стороне AC. Медиана делит сторону AC пополам, то есть AM = MC. Высота перпендикулярна стороне AC, то есть образует прямой угол. Если треугольник ABC прямоугольный или тупоугольный, то высота BH может лежать вне треугольника, но нас интересует случай, когда она внутри треугольника. В прямоугольном треугольнике BHM (или BHC, если высота лежит вне треугольника), гипотенуза всегда больше катета. Так как BM - гипотенуза, а BH - катет, то BM > BH. Если треугольник ABC равнобедренный и BH совпадает с BM, то BM = BH. Следовательно, в общем случае медиана не меньше высоты.