247. Докажите, что если биссектриса внешнего угла треугольника параллельна стороне треугольника, то треугольник равнобедренный.

Пусть дан треугольник ABC. Пусть биссектриса внешнего угла при вершине B параллельна стороне AC. Обозначим внешний угол при вершине B как ( \angle CBE ). Тогда биссектриса ( BD ) делит этот угол пополам, то есть ( \angle CBD = \angle DBE ). Так как ( BD || AC ), то ( \angle BDA = \angle CAD ) (накрест лежащие углы) и ( \angle DBC = \angle BCA ) (соответственные углы). Так как ( \angle CBD = \angle DBE ) и ( \angle DBC = \angle BCA ), то ( \angle DBE = \angle BCA ). Следовательно, ( \angle BAC = \angle BCA ), а значит, треугольник ABC равнобедренный с AB = BC.