247. Дано \(\overrightarrow{AB}=\mathbf a+2\mathbf b\), \(\overrightarrow{BC}=-4\mathbf a-\mathbf b\), \(\overrightarrow{CD}=-5\mathbf a-3\mathbf b\). Доказать, что \(ABCD\) — трапеция.

Найдём вектор противоположной стороны:

\(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=(\mathbf a+2\mathbf b)+(-4\mathbf a-\mathbf b)+(-5\mathbf a-3\mathbf b)=-8\mathbf a-2\mathbf b=-2(4\mathbf a+\mathbf b).\)

При этом \(\overrightarrow{BC}=-(4\mathbf a+\mathbf b)\), поэтому \(\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{BC}\). Следовательно, стороны \(AD\) и \(BC\) параллельны.

Ответ: \(ABCD\) — трапеция, поскольку \(AD\parallel BC\).