254. Радиус-вектор точки \(M\) составляет с осью \(Oy\) угол \(60^\circ\), а с осью \(Oz\) угол \(45^\circ\), его длина \(r=8\). Найти координаты точки \(M\), если её абсцисса отрицательна.

Координаты радиус-вектора выражаются через направляющие косинусы: \(x=r\cos\alpha\), \(y=r\cos\beta\), \(z=r\cos\gamma\), где углы отсчитываются от положительных направлений осей.

По условию \(\cos\beta=\cos60^\circ=\frac12\), поэтому \(y=8\cdot\frac12=4\). Аналогично, \(\cos\gamma=\cos45^\circ=\frac{\sqrt2}{2}\), поэтому \(z=4\sqrt2\).

Направляющие косинусы удовлетворяют равенству \(\cos^2\alpha+\cos^2\beta+\cos^2\gamma=1\). Следовательно, \(\cos^2\alpha=1-\frac14-\frac12=\frac14\). Так как абсцисса отрицательна, \(\cos\alpha=-\frac12\), значит, \(x=-4\).

Ответ: \(M(-4;4;4\sqrt2)\).