250. Даны радиусы-векторы вершин треугольника $ABC$: $\mathbf r_A=\mathbf i+2\mathbf j+3\mathbf k$, $\mathbf r_B=3\mathbf i+2\mathbf j+\mathbf k$, $\mathbf r_C=\mathbf i+4\mathbf j+\mathbf k$. Показать, что треугольник $ABC$ равносторонний.

Question

Вопрос: $Фото задания: 250. Даны радиусы-векторы вершин треугольника $ABC$: $\mathbf r_A=\mathbf i+2\mathbf j+3\mathbf k$, \(\mathbf…$ Фото задания

Accepted Answer

Найдём векторы сторон по координатам вершин:

$\overrightarrow{AB}=\mathbf r_B-\mathbf r_A=(2;0;-2)$, поэтому $AB=\sqrt{2^2+0^2+(-2)^2}=2\sqrt2$.

$\overrightarrow{BC}=\mathbf r_C-\mathbf r_B=(-2;2;0)$, поэтому $BC=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt2$.

$\overrightarrow{CA}=\mathbf r_A-\mathbf r_C=(0;-2;2)$, поэтому $CA=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt2$.

Все три стороны равны.

Ответ: $ABC$ — равносторонний треугольник.