251. Вычислить модуль вектора \(\mathbf a=\mathbf i+2\mathbf j+\mathbf k-\frac15(4\mathbf i+8\mathbf j+3\mathbf k)\) и найти его направляющие косинусы.

Сначала вычислим координаты вектора:

\(\mathbf a=(1;2;1)-\left(\frac45;\frac85;\frac35\right)=\left(\frac15;\frac25;\frac25\right)\).

Его модуль: \(\lvert\mathbf a\rvert=\sqrt{\frac1{25}+\frac4{25}+\frac4{25}}=\frac35\).

Направляющие косинусы — координаты, делённые на модуль: \(\cos\alpha=\frac{1/5}{3/5}=\frac13\), \(\cos\beta=\frac{2/5}{3/5}=\frac23\), \(\cos\gamma=\frac{2/5}{3/5}=\frac23\).

Ответ: \(\lvert\mathbf a\rvert=\frac35\); направляющие косинусы — \(\frac13,\frac23,\frac23\).