25. Тип 25 № 339373. Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 28.

Пусть диагонали параллелограмма (d_1) и (d_2), тогда площадь параллелограмма (S_p = \frac{1}{2}d_1d_2 \sin{\alpha}\), где (\alpha\) – угол между диагоналями. Площадь параллелограмма также (S_p = ab\sin{\beta}\) где а и b стороны, и (\beta\) угол между ними. Площадь ромба (S_r = \frac{1}{2}d_r^2 \sin{\gamma}), но так как стороны ромба параллельны диагоналям, (d_r = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}), a угол между диагоналями ромба такой же как у параллелограмма, то есть (\gamma = \alpha\) . Пусть (d_1=28x) и (d_2=x), тогда (S_p = \frac{1}{2}*28x*x*\sin{\alpha} = 14x^2*\sin{\alpha}\) а ромб с диагоналями (d_1/2) и (d_2/2), (S_r=\frac{1}{2}*(d_1/2)*(d_2/2)*sin{\alpha}=\frac{1}{8}*d_1*d_2*sin{\alpha}= \frac{1}{8}*28x*x*\sin{\alpha} = \frac{7}{2}x^2*\sin{\alpha}\). Отношение площадей \(\frac{S_r}{S_p} = \frac{\frac{7}{2}x^2\sin{\alpha}}{14x^2\sin{\alpha}} = \frac{7}{2*14}=\frac{1}{4}\). Ответ: 1/4.