251. Вычислить модуль вектора \(\mathbf a=\mathbf i+2\mathbf j+\mathbf k-(1/5)(4\mathbf i+8\mathbf j+3\mathbf k)\) и найти его направляющие косинусы.

Сначала найдём координаты вектора:

\[\mathbf a=(1;2;1)-\frac15(4;8;3)=\left(\frac15;\frac25;\frac25\right).\]

Его модуль:

\[|\mathbf a|=\sqrt{\left(\frac15\right)^2+\left(\frac25\right)^2+\left(\frac25\right)^2}=\frac35.\]

Направляющие косинусы — отношения координат вектора к его модулю:

\[\cos\alpha=\frac{1/5}{3/5}=\frac13,\qquad \cos\beta=\frac{2/5}{3/5}=\frac23,\qquad \cos\gamma=\frac{2/5}{3/5}=\frac23.\]

Ответ: \(|\mathbf a|=\frac35\); направляющие косинусы — \(\frac13,\frac23,\frac23\).