262 В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом с вершине А равен 120°, АС + АВ = 18 см. Найдите АС и АВ.

Решение:

В условии сказано, что угол при вершине А равен \( 120^{\circ} \), но при этом треугольник прямоугольный. Это противоречие. Будем считать, что прямой угол находится при вершине C, а угол при вершине A равен \( 120^{\circ} \) — это внешний угол.

Если угол A равен \( 120^{\circ} \) (внешний), то внутренний угол при вершине A равен \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = \( 90^{\circ} \)): \( \angle A = 60^{\circ} \), \( \angle B = 30^{\circ} \).

По условию \( AC + AB = 18 \) см.

В треугольнике с углами \( 30^{\circ}, 60^{\circ}, 90^{\circ} \) катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \) (это AC), равен половине гипотенузы (AB): \( AC = \frac{1}{2}AB \).

Подставим в условие: \( \frac{1}{2}AB + AB = 18 \).

\[ \frac{3}{2}AB = 18 \]

\[ AB = 18 \(\times\) \(\frac{2}{3}\) = 12 \) см.

Тогда \( AC = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \) см.

Ответ: \( AC = 6 \) см, \( AB = 12 \) см.