267 В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы А и А₁ — прямые, BD и B₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Доказательство:

Дано: \( \triangle ABC \) и \( \triangle A_1B_1C_1 \). \( \angle A = \angle A_1 = 90^{\circ} \). BD — биссектриса \( \angle B \), B₁D₁ — биссектриса \( \angle B_1 \). \( \angle B = \angle B_1 \), \( BD = B_1D_1 \).

Доказать: \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

1. Сравним треугольники ABD и A₁B₁D₁:

* \( \angle A = \angle A_1 = 90^{\circ} \) (по условию).

* \( \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 \) (так как BD и B₁D₁ — биссектрисы, и \( \angle B = \angle B_1 \), то \( \angle ABD = \angle B/2 \) и \( \angle A_1B_1D_1 = \angle B_1/2 \), следовательно, \( \angle ABD = \angle A_1B_1D_1 \)).

* \( BD = B_1D_1 \) (по условию).

* По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), \( \triangle ABD = \triangle A_1B_1D_1 \).

* Следовательно, AB = A₁B₁ (соответствующие стороны равных треугольников).

2. Сравним треугольники ABC и A₁B₁C₁:

* AB = A₁B₁ (доказано выше).

* \( \angle A = \angle A_1 = 90^{\circ} \) (по условию).

* \( \angle B = \angle B_1 \) (по условию).

* По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), \( \triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1 \).

Что и требовалось доказать.