268 Высоты, проведённые к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BMC = 140°.

Решение:

Пусть BD и CE — высоты, проведённые к боковым сторонам AB и AC соответственно. Они пересекаются в точке M.

В равнобедренном треугольнике ABC, AC = AB. Углы при основании \( \angle B = \angle C \).

Рассмотрим четырёхугольник ADME. \( \angle A = \angle A \), \( \angle ADM = 90^{\circ} \) (BD — высота), \( \angle AEM = 90^{\circ} \) (CE — высота).

Сумма углов четырёхугольника равна \( 360^{\circ} \). Поэтому \( \angle DME = 360^{\circ} - 90^{\circ} - 90^{\circ} - \angle A = 180^{\circ} - \angle A \).

Угол \( \angle BMC \) и \( \angle DME \) — вертикальные, значит, \( \angle BMC = \angle DME \).

\( 140^{\circ} = 180^{\circ} - \angle A \).

\( \angle A = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ} \).

Так как треугольник ABC равнобедренный с основанием BC, то \( \angle B = \angle C = (180^{\circ} - 40^{\circ}) / 2 = 140^{\circ} / 2 = 70^{\circ} \).

Ответ: \( 40^{\circ}, 70^{\circ}, 70^{\circ} \).