264 Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Решение:

В равнобедренном треугольнике ABC (AC — основание), \( \angle B = 120^{\circ} \). Углы при основании \( \angle A = \angle C = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ} \).

Пусть BH — высота, проведённая к боковой стороне AC, BH = 9 см.

В прямоугольном треугольнике BHC: \( \angle C = 30^{\circ} \), BH = 9 см.

Катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы: \( BH = \frac{1}{2} BC \).

\[ BC = 2 \(\times\) BH = 2 \(\times\) 9 = 18 \) см.

Так как треугольник равнобедренный, AB = BC = 18 см.

Основание AC можно найти, зная высоту, опущенную из B на AC, или используя теорему косинусов.

Пусть BK — высота, опущенная на основание AC. \( \angle KBC = 120^{\circ}/2 = 60^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle BKC \): \( KC = BC \cos(60^{\circ}) = 18 \times \frac{1}{2} = 9 \) см.

AC = 2 * KC = 2 * 9 = 18 см.

Ответ: \( 18 \) см.