269 Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B=67°.

Решение:

В треугольнике ABC \( \angle C = 180^{\circ} - \angle A - \angle B = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 67^{\circ} = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ} \).

AA₁ и BB₁ — высоты, поэтому \( \angle AA_1B = 90^{\circ} \) и \( \angle BB_1A = 90^{\circ} \).

Рассмотрим треугольник AA₁B. \( \angle A_1AB = \angle A = 55^{\circ} \). \( \angle AA_1B = 90^{\circ} \).

\( \angle ABA_1 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \). Заметим, что \( \angle ABA_1 \) — это часть угла \( \angle B \).

Рассмотрим треугольник ABB₁. \( \angle BAB_1 = \angle A = 55^{\circ} \). \( \angle BB_1A = 90^{\circ} \).

\( \angle ABB_1 = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 55^{\circ} = 35^{\circ} \). Опять же, \( \angle ABB_1 \) — часть угла \( \angle B \).

Теперь рассмотрим треугольник AMB.

\( \angle MAB = \angle A = 55^{\circ} \).

\( \angle MBA = \angle B = 67^{\circ} \).

\( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle MAB - \angle MBA = 180^{\circ} - 55^{\circ} - 67^{\circ} = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ} \).

Ответ: \( 58^{\circ} \).