27*. Дано: △ABC — равносторонний, MB = 2AM, NC = 2BN, AK = 2KC. Доказать: △MNK — равносторонний.

Пусть сторона равностороннего треугольника ABC равна a. Тогда из условий получаем AM = BN = KC = a/3, а BM = CN = AK = 2a/3.

Так как ∠A = ∠B = ∠C = 60°, применим теорему косинусов.

В △AMK: AM = a/3, AK = 2a/3, ∠MAK = 60°, поэтому MK² = a²/9 + 4a²/9 − 2·a/3·2a/3·cos 60° = a²/3.

В △MBN: MB = 2a/3, BN = a/3, ∠MBN = 60°, поэтому MN² = 4a²/9 + a²/9 − 2·2a/3·a/3·cos 60° = a²/3.

В △KCN: KC = a/3, CN = 2a/3, ∠KCN = 60°, поэтому KN² = a²/9 + 4a²/9 − 2·a/3·2a/3·cos 60° = a²/3.

Значит, MK = MN = KN, поэтому △MNK равносторонний.