28*. Дано: △ABC — равносторонний, AM = AB, CN = AC, BK = BC. Доказать: △MNK — равносторонний.

Пусть длина стороны ABC равна a. По рисунку M, N и K лежат на продолжениях сторон: AM = CN = BK = a.

Поворот на 60° вокруг A переводит B в M. Поворот на 60° вокруг C переводит A в N, а поворот на 60° вокруг B переводит C в K. Используя равенство сторон и углов равностороннего треугольника, получаем по теореме косинусов для каждой пары вершин внешнего треугольника: MN² = MK² = NK² = 3a².

Следовательно, MN = MK = NK, то есть △MNK равносторонний.