30*. Дано: CM — биссектриса △ABC, CB = CN, CK — медиана △BCN. Доказать: CM ⟂ CK.

Так как CB = CN, треугольник BCN равнобедренный с вершиной C. Медиана CK, проведённая к основанию BN, одновременно является биссектрисой угла BCN. Поэтому ∠BCK = ∠KCN.

Точки A, C, N лежат на одной прямой, причём CA и CN — противоположные лучи. Следовательно, ∠BCA + ∠BCN = 180°. Луч CM делит ∠BCA пополам, а CK делит ∠BCN пополам. Значит, угол между CM и CK равен половине суммы этих смежных углов: (∠BCA + ∠BCN)/2 = 90°.

Ответ: CM ⟂ CK.