\(27^{x-\frac23}=\frac{2}{81}\cdot9^{x+2}=9\)

Запись читается как цепочка равенств: \(27^{x-\frac23}=\frac{2}{81}\cdot9^{x+2}\) и \(\frac{2}{81}\cdot9^{x+2}=9\). Во втором уравнении, представляя степени через основание 3, получаем \(2\cdot3^{2x}=9\), то есть \(3^{2x}=\frac92\), поэтому \(x=\frac12\log_3\frac92\). Но это значение не удовлетворяет первому равенству цепочки. Проверим первое: \(27^{x-\frac23}=\frac{2}{81}\cdot9^{x+2}\) равносильно \(3^{3x-2}=2\cdot3^{2x-2}\), откуда \(3^x=2\), то есть \(x=\log_3 2\). При этом выражение \(\frac{2}{81}\cdot9^{x+2}\) не равно 9. Следовательно, все три части цепочки не могут быть равны одновременно.

Ответ: решений нет, если знаки равенства задают одну цепочку равенств.