№29. Теплоход проходит за 3 часа по течению и 2 часа против течения 240 км. Этот же теплоход проходит на 35 км больше, чем за 2 часа по течению. Найдите скорость теплохода против течения и его скорость по течению.

Решение:

1. Пусть \(v_т\) — собственная скорость теплохода (в км/ч), а \(v_р\) — скорость течения реки (в км/ч).
2. Скорость теплохода по течению: \(v_п = v_т + v_р\).
3. Скорость теплохода против течения: \(v_{прт} = v_т - v_р\).
4. Первое условие: \(3(v_т + v_р) + 2(v_т - v_р) = 240\).
5. \(3v_т + 3v_р + 2v_т - 2v_р = 240\).
6. \(5v_т + v_р = 240\) (1).
7. Второе условие: Расстояние, пройденное за 3 часа против течения, на 35 км больше, чем за 2 часа по течению.
8. \(3(v_т - v_р) = 2(v_т + v_р) + 35\).
9. \(3v_т - 3v_р = 2v_т + 2v_р + 35\).
10. \(v_т - 5v_р = 35\) (2).
11. Из уравнения (1) выразим \(v_р\): \(v_р = 240 - 5v_т\).
12. Подставим это в уравнение (2): \(v_т - 5(240 - 5v_т) = 35\).
13. \(v_т - 1200 + 25v_т = 35\).
14. \(26v_т = 1200 + 35\).
15. \(26v_т = 1235\).
16. \(v_т = \frac{1235}{26} = 47.5\) (км/ч) — собственная скорость теплохода.
17. Найдем скорость течения: \(v_р = 240 - 5 × 47.5 = 240 - 237.5 = 2.5\) (км/ч).
18. Скорость теплохода по течению: \(v_п = 47.5 + 2.5 = 50\) (км/ч).
19. Скорость теплохода против течения: \(v_{прт} = 47.5 - 2.5 = 45\) (км/ч).
20. Проверка второго условия: \(3 × 45 = 135\), \(2 × 50 = 100\). \(135 = 100 + 35\) — верно.

Ответ: Скорость теплохода против течения 45 км/ч, скорость по течению — 50 км/ч.