№30. Теплоход проходит за 5 часов по течению и 4 часа против течения 141 км. Этот же теплоход за 2 часа против течения проходит на 23 км меньше, чем за 3 часа по течению. Найдите скорость теплохода против течения и его скорость по течению.

Решение:

Пусть \( v_т \) — собственная скорость теплохода, а \( v_т \) — скорость течения реки.

Скорость теплохода по течению: \( v_{по теч.} = v_т + v_т \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v_{против} = v_т - v_т \) км/ч.

Из первого условия:

\[ 5(v_т + v_т) + 4(v_т - v_т) = 141 \]

Из второго условия:

\[ 2(v_т - v_т) = 3(v_т + v_т) - 23 \]

Составим систему уравнений:

\[ \begin{cases} 5(v_т + v_т) + 4(v_т - v_т) = 141 \\ 2(v_т - v_т) = 3(v_т + v_т) - 23 \end{cases} \]

Упростим:

\[ \begin{cases} 5v_т + 5v_т + 4v_т - 4v_т = 141 \\ 2v_т - 2v_т = 3v_т + 3v_т - 23 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 9v_т + v_т = 141 \\ -v_т - 6v_т = -23 \end{cases} \]

\[ \begin{cases} 9v_т + v_т = 141 \\ 7v_т + v_т = 23 \end{cases} \]

Вычтем второе уравнение из первого:

\[ (9v_т + v_т) - (7v_т + v_т) = 141 - 23 \]

\[ 2v_т = 118 \]

\[ v_т = \frac{118}{2} = 59 \text{ км/ч} \]

Теперь найдём \( v_т \). Подставим \( v_т \) во второе уравнение:

\[ 7 \cdot 59 + v_т = 23 \]

\[ 413 + v_т = 23 \]

\[ v_т = 23 - 413 = -390 \text{ км/ч} \]

Такое значение скорости течения невозможно. Ошибка в условии задачи или в моем понимании.

Проверим ещё раз второе условие:

\[ 2(v_т - v_т) = 3(v_т + v_т) - 23 \]

\[ 2v_т - 2v_т = 3v_т + 3v_т - 23 \]

\[ -5v_т = -23 \]

\[ v_т = \frac{23}{5} = 4,6 \text{ км/ч} \]

Теперь подставим \( v_т \) в первое уравнение:

\[ 5(v_т + 4,6) + 4(v_т - 4,6) = 141 \]

\[ 5v_т + 23 + 4v_т - 18,4 = 141 \]

\[ 9v_т + 4,6 = 141 \]

\[ 9v_т = 141 - 4,6 \]

\[ 9v_т = 136,4 \]

\[ v_т = \frac{136,4}{9} \approx 15,16 \text{ км/ч} \]

Скорость теплохода по течению: \( v_{по теч.} = 15,16 + 4,6 = 19,76 \text{ км/ч} \).

Скорость теплохода против течения: \( v_{против} = 15,16 - 4,6 = 10,56 \text{ км/ч} \).

Ответ: Скорость теплохода против течения примерно 10,56 км/ч, скорость по течению примерно 19,76 км/ч.