№30. Теплоход проходит за 5 часов по течению и 4 часа против течения 141 км. Этот же теплоход за 2 часа против течения проходит на 23 км меньше, чем за 3 часа по течению. Найдите скорость теплохода против течения и его скорость по течению.

Решение:

1. Пусть \(v_т\) — собственная скорость теплохода (в км/ч), а \(v_р\) — скорость течения реки (в км/ч).
2. Скорость теплохода по течению: \(v_п = v_т + v_р\).
3. Скорость теплохода против течения: \(v_{прт} = v_т - v_р\).
4. Первое условие: \(5(v_т + v_р) + 4(v_т - v_р) = 141\).
5. \(5v_т + 5v_р + 4v_т - 4v_р = 141\).
6. \(9v_т + v_р = 141\) (1).
7. Второе условие: За 2 часа против течения проходит на 23 км меньше, чем за 3 часа по течению.
8. \(2(v_т - v_р) = 3(v_т + v_р) - 23\).
9. \(2v_т - 2v_р = 3v_т + 3v_р - 23\).
10. \(-v_т - 5v_р = -23\) или \(v_т + 5v_р = 23\) (2).
11. Из уравнения (1) выразим \(v_р\): \(v_р = 141 - 9v_т\).
12. Подставим это в уравнение (2): \(v_т + 5(141 - 9v_т) = 23\).
13. \(v_т + 705 - 45v_т = 23\).
14. \(-44v_т = 23 - 705\).
15. \(-44v_т = -682\).
16. \(v_т = \frac{682}{44} = 15.5\) (км/ч) — собственная скорость теплохода.
17. Найдем скорость течения: \(v_р = 141 - 9 × 15.5 = 141 - 139.5 = 1.5\) (км/ч).
18. Скорость теплохода по течению: \(v_п = 15.5 + 1.5 = 17\) (км/ч).
19. Скорость теплохода против течения: \(v_{прт} = 15.5 - 1.5 = 14\) (км/ч).
20. Проверка второго условия: \(2 × 14 = 28\), \(3 × 17 = 51\). \(28 = 51 - 23\) — верно.

Ответ: Скорость теплохода против течения 14 км/ч, скорость по течению — 17 км/ч.