3.3.43. Хорда АВ стягивает дугу окружности в 47°. Касательные к окружности, проведённые в точках А и В, пересекаются в точке О. Найдите угол АОВ. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол, образованный двумя касательными, проведенными из одной точки, равен половине разности между большей и меньшей дугами, заключенными между точками касания.

Дуга АВ, стягиваемая хордой, равна 47°.

Полная окружность составляет 360°.

Большая дуга АВ = 360° - 47° = 313°.

Однако, в данном контексте, угол между касательными, исходящими из точки О, опирается на меньшую дугу АВ.

Рассмотрим четырехугольник, образованный точками А, В и центром окружности (пусть это будет точка К). Угол АКВ будет равен центральному углу, опирающемуся на дугу АВ, то есть 47°.

Углы КАO и КВО равны 90° (радиус перпендикулярен касательной).

В четырехугольнике АКВО:

\[ \angle AOB + \angle KAO + \angle AKB + \angle KBO = 360° \]

\[ \angle AOB + 90° + 47° + 90° = 360° \]

\[ \angle AOB + 227° = 360° \]

\[ \angle AOB = 360° - 227° \]

\[ \angle AOB = 133° \]

Ответ: 133