3.3.48. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 56°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный угол ∠ACB опирается на дугу AB. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга AB = 2 * ∠ACB = 2 * 56° = 112°.

Центральный угол ∠AOB равен величине дуги AB, на которую он опирается. Следовательно, ∠AOB = 112°.

Углы ∠AOB и ∠COD являются вертикальными, поэтому ∠COD = ∠AOB = 112°.

Углы ∠AOD и ∠BOC являются вертикальными. Сумма углов вокруг точки О равна 360°.

\[ \angle AOD + \angle BOC + \angle COD + \angle AOB = 360° \]

\[ \angle AOD + \angle BOC + 112° + 112° = 360° \]

\[ \angle AOD + \angle BOC + 224° = 360° \]

\[ \angle AOD + \angle BOC = 360° - 224° = 136° \]

Так как ∠AOD = ∠BOC (вертикальные углы), то:

\[ 2 * \angle AOD = 136° \]

\[ \angle AOD = 68° \]

Ответ: 68