3.3.45. Найдите центральный угол АОВ, если он на 67° больше вписанного угла АСВ, опирающегося на ту же дугу. Точка О — центр окружности. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, что и вписанный угол, в два раза больше вписанного угла. Пусть вписанный угол ∠ACB = x.

Тогда центральный угол ∠AOB = 2x.

По условию задачи, центральный угол ∠AOB на 67° больше вписанного угла ∠ACB.

\[ \angle AOB = \angle ACB + 67° \]

Подставим наши обозначения:

\[ 2x = x + 67° \]

Решаем уравнение:

\[ 2x - x = 67° \]

\[ x = 67° \]

Таким образом, вписанный угол ∠ACB = 67°.

Центральный угол ∠AOB = 2x = 2 * 67° = 134°.

Ответ: 134