3.3.47. АС и BD — диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 74°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Вписанный угол ∠ACB опирается на дугу АВ. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга АВ = 2 * ∠ACB = 2 * 74° = 148°.

Центральный угол ∠AOB равен величине дуги АВ, на которую он опирается. Следовательно, ∠AOB = 148°.

Углы ∠AOB и ∠COD являются вертикальными, поэтому ∠COD = ∠AOB = 148°.

Углы ∠AOD и ∠BOC являются вертикальными, и они также опираются на дуги, сумма которых равна 360° - 148° - 148° = 64°.

Таким образом, ∠AOD = ∠BOC = 64° / 2 = 32°.

Альтернативное решение:

Углы ∠ACB и ∠ADB опираются на одну дугу AB. Значит ∠ADB = ∠ACB = 74°.

Рассмотрим треугольник AOD. AC и BD - диаметры. Угол ∠CAD опирается на дугу CD. Угол ∠CBD опирается на дугу CD. Следовательно, ∠CAD = ∠CBD.

В треугольнике BOC, OB = OC (радиусы), значит он равнобедренный. ∠OBC = ∠OCB.

В треугольнике AOD, OA = OD (радиусы), значит он равнобедренный. ∠OAD = ∠ODA.

Углы ∠AOB и ∠COD — вертикальные. Углы ∠AOD и ∠BOC — вертикальные.

Сумма углов вокруг точки O равна 360°: \[ \angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle AOD = 360° \]

Заметим, что \[ \angle AOD + \angle DOC = 180° \] (развернутый угол).

Из треугольника ABC, так как AC — диаметр, то ∠ABC = 90°.

В треугольнике ABC: \[ \angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 180° \]

\[ \angle BAC + 90° + 74° = 180° \]

\[ \angle BAC = 180° - 164° = 16° \]

Теперь рассмотрим треугольник AOD. OA = OD (радиусы). \[ \angle OAD = \angle ODA \]

Угол ∠AOD является внешним углом треугольника AOB. Но это не так.

Рассмотрим треугольник COD. OC = OD (радиусы). \[ \angle OCD = \angle ODC \]

Угол ∠OCD — это то же самое, что и ∠ACD.

В треугольнике ABC, ∠ABC = 90° (угол, опирающийся на диаметр).

Угол ∠CAD опирается на дугу CD. Угол ∠CBD опирается на дугу CD. Значит ∠CAD = ∠CBD.

Угол ∠ACB = 74°.

Рассмотрим треугольник BOC. OB = OC (радиусы), значит он равнобедренный. \[ \angle OBC = \angle OCB \]

Угол ∠AOB — центральный. Он равен удвоенному вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. Вписанный угол ∠ACB опирается на дугу AB. Значит дуга AB = 2 * 74° = 148°.

Центральный угол ∠AOB = 148°.

Углы ∠AOB и ∠COD — вертикальные, поэтому ∠COD = 148°.

Углы ∠AOD и ∠BOC — вертикальные. Сумма углов вокруг точки О равна 360°.

\[ \angle AOD + \angle BOC + \angle COD + \angle AOB = 360° \]

\[ \angle AOD + \angle BOC + 148° + 148° = 360° \]

\[ \angle AOD + \angle BOC + 296° = 360° \]

\[ \angle AOD + \angle BOC = 360° - 296° = 64° \]

Так как ∠AOD = ∠BOC (вертикальные углы), то:

\[ 2 * \angle AOD = 64° \]

\[ \angle AOD = 32° \]

Ответ: 32