3. ABCD — прямоугольник. Диагонали AC и BD пересекаются в O; BE ⟂ AC, E лежит на AC. По чертежу ∠ACD = 60°. Дано: OE = 4. Найти: AC.

Так как ∠BCD = 90°, то ∠BCA = 90° − 60° = 30°. Треугольник ABC прямоугольный, и его гипотенуза AC равна удвоенному катету AB.

Пусть AC = c. Тогда AB = c/2. По свойству проекции катета на гипотенузу, AE = AB²/AC = (c/2)²/c = c/4. Точка O — середина диагонали AC, поэтому AO = c/2. Следовательно, OE = AO − AE = c/4.

Из OE = 4 получаем c/4 = 4, откуда c = 16.

Ответ: AC = 16.